Teorema Rangkaian

TEOREMA – TEOREMA RANGKAIAN

· Tujuan

Mahasiswa dapat menggunakan teorema-teorema rangkaian untuk menganalisis rangkaian

· Materi

1. Teorema SUPERPOSISI

2. Teorema THEVENIN

3. Teorema NORTON

4. Teorema ILLMANN

5. Teorema RESIPROSITAS

6. Teorema KOMPENSASI/SUBSTITUSI

· Catatan

· Teorema bukan hukum

· Hukum berlaku secara umum

· Teorema hanya berlaku untuk suatu keadaan/kondisi tertentu saja

· Dalam mempelajari teorema perhatikan bunyi teorema tersebut dan kondisi yang harus dipenuhi agar teorema berlaku

6.1 Teorema SUPERPOSISI

· Superposisi = penjumlahan

· Teorema superposisi berlaku untuk sistem-sistem linier, tidak terbatas untuk rangkaian listrik tetapi juga sistem mekanik dsb.

· Teorema superposisi

Jika sebab dan akibat mempunyai hubungan linier maka akibat sejumlah sebab yang bekerja bersama-sama , sama dengan jumlah akibat jika masing-masing sebab bekerja sendiri-sendiri.

· Teorema superposisi pada rangkaian listrik

Dalam rangkaian listrik hanya ada 2 besaran utama , yaitu tegangan dan arus, sehingga jika sebab adalah tegangan , maka akibat adalah arus dan sebaliknya .

Jadi dalam rangkaian listrik

· Sebab : sumber arus atau sumber tegangan

· Akibat : tgangan atau arus atau daya

· Sebab dan akibat mempunyai hubungan linier pada elemen-elemen linier atau R , L , C

· Kesimpulan

Teorema superposisi berlaku pada sistem linier / sistem dari elemen-elemen pasif linier , sehingga dapat dikatakan sbb:

· Jika sejumlah sumber energy indipenden bekerja bersama-sama pada suatu sistem linier , maka akibatnya sam adengan jumlah akibat jika masing-masing sumber energy bekerja seniri-sendiri , sumber-sumber yang tidak bekerj adiganti dengan resistansi dalamnya

· Contoh : hitung arus I melaluiR2 dengan teorema superposisi

· Identifikasi

I mealui R2 akibat sumber tegangan Vs dan sumber arus Is bekerja bersama-sama .

· Rencan : menggunakan teorema superposisi

I = I’ akibat Vs bekerja sendiri, + I” akibat Is bekerja sendiri ,

Is diganti dengan resistansi dalamnya Vs diganti dengan resistansi dalamnya

· Penyelesaian :

6.2 Teorema THEVENIN

· Materi :

· Teorema thevenin

· Cara-cara mencari resistansi thevenin (Rt)

· Transfer daya maksimum

· Resistansi input(Rin) dan resistansi output (Rout=Rt)

6.2.1 Teorema thevenin :

Setiap rangkaian kutub dua yang terdiridari sumber energy atau sumber-sumber energy dan elemen pasif linier atau elemen-elemen pasif linier , selalu dapat diganti dengan suatu rangkaian seri yang terdiri dari sumber tegangan Vt dan resistansi Rt, dengan

Vt = Voc dan Rt = Voc/Isc

( catatan : untuk rangkaian sumber AC , Rt menjadi Zt = impedansi thevenin , dan Voc menjadi Voc = phasor teganan OC, Isc menjadi Isc = phasor arus SC)

· Identifikasi

· Rangkaian kutub – 2

· Terdiri dari sumber energy atau sumber-sumber energy, artinya :

- Dapat hanya ada 1 sumber energy atau banyak (>1) sumberenegi

- Sumber energy dapat terdiri dari sumber energy independen mapun sumber energy dipenden

· Dan elemen paif kinier atau elemen-elemen pasif linier artinya

- Dapart hanya ada 1 elemen pasif linier taua banya (>1) elemen pasif linier

· Untuk rangkaian AC , elemen pasif linier dapat terdiri dari R, L, C ; untuk rangkaian DC hanya resistansi (R)

· Rangkaian pengganti : Vt seri Rt , dengan

Vt = Voc = tegangan hbung terbuka (volt)

Rt = Voc / Isc (ohm) , dengan Isc = arus hubung singkat [A]

· Rencana

- Mencari pengganti rangkaian K-2 dengan rangkaian ekivalen Thevenin (K-2 harus memenihi syarat)

Atau mencari Vt dan Rt

· Penyelesaian

6.2.2 Cara-cara mencari reistansithevenin (Rt)

· Cara-cara mencari Rt

1. Secara umum : Rt = Voc / Isc , dengan

Voc = tegangan hubung terbuka [V]

Isc = arus hubung singkatt [A]

2. Untuk rangkaian K-2 yang terdiri dari sumber energy/sumber-sumber energy indipenden dan elemen pasif linier/elemen-elemen pasiflinier saja(tanpa sumber energy dipenden ),

Rt adaah resistansi yang terlihat kearah sumber energy , jika semua sumber energy inidipenden tersebut diganti resistansi dalamnya

Contoh :

3. Untuk rangkaian K-2 yang teridiri dari umber energy dipenden / sumber-sumber energy dipenden dan elemen pasif linier elemen-elemen pasif linier (tanpa sumber energy indipenden), cara 1 dan 2 dapat digunakan .

Untuk rangkaian demikian hanya dapat dilakukan dengan salah satu cara sbb:

a. Misalkan suatu sumber tegangan 1 volt bekerja (di terminal a-b), ganti setiap sumber energy independen yang ada dengan resistansi dalamnya (jika ada).

Hitung arus melalui sumber tegangan 1 volt tersebut, misalkan Ix [A], maka

Rt = 1 / Ix (ohm), atau

b. Misalkan suatu sumber arus [A] bekerja (diterminal a-b), gannti semua sumber energy independen (jika ada) dengan resistansi didalamnya.

Hitung tegangan pada sumber arus 1 A terebut,misalkan Vx [volt] , maka

Rt = Vx (ohm)

6.2.3 Transfer daya maksimum

(perpindahan daya maksimum)

· Contoh :

- Hitung beban yang harus dipasang pada a-b, agar terjadi transfer daya max!

- Hitung daya max tersebut!

· Identifikasi

- Beban pada a-b : R[Ω]

- R=?

- Pmax = Prmax=?

= I^2 . R

· Rencana :

- R agar Pr max

- Rangkaian K-2 di atas dapat dicari ekivalen thevenin nya menjadi Vt seri dengan Rt.

- Jadi Pmax = I^2 . R

· Penyelesaian :

· Daya max :

6.2.4 Resistansi input (Rin) dan resistansioutput (Rout) = Rt

· Resistansi input (Rin)

Adalah rsistansi pada terminal-terminal input suatu rangkaian listrik/rangkaian elektronik.

- Untuk suatu rangkaian resistif murni (rangkaian dengan seluruh elemennya resistansi ), Rin seringkali disebut resistansi total (Rtot), resistansi ekivalen (Rek) atau bahkan kadang-kadang ganya “resistannsi” saja.

· Resistansi output (Rout) = Rthevenin

· Untuk rangkaian-rangkaian yang terdiri dari sumber dipenden tanpa sumber independen , dan elemen pasif linier , cara mencari Rin analog denan cara mencari Rout (Rt), yaitu dengan memisalkan sumber tegangan 1 volt atau sumber arus 1 A bekerja . Perbedannya adalah :

- Untuk mencari Rin, sumber dipasang di terminal-terminal input

- Untuk mencari Rout , sumber dipasang di terminal-terminall output

· Jika rangkaian mempunyai sumber independen , sumber tersebut diganti dengan resistansi dalamnya .

Teorema Norton

Materi :

1. Terorema Norton

2. Sumber – Sumber nyata ( sumber dalam praktek )

3. Mengubah sumber tegangan nyata menjadi sumber arus nyata

1. Teorema Norton

Setiap rangkaian kutub-2 yang terdiri dari sumber energy / sumber-sumber energy dari elemen pasif linier/ elemen-elemen pasif linier, selalu dapat diganti dengan suatu rangkaian parallel yang terdiri dari sumber arus In dan konduktansi Gn, dengan : In = Isc dan Gn = Isc / Voc

Catatan : kita dapat mengganti Gn dengan Rn = 1 / Gn = Voc / Isc = Rt

Jadi cara kita mencari Rn = mencari Rt

Identifikasi

· Identifikasi

ü Rangkaian K-2 terdiri dari sumber energy / sumber-sumber energy dan elemen pasif linier / elemen-elemen pasif linier

ü Rangkaian pengganti : In parallel Gn

ü In = Isc , Gn = Isc / Voc = 1/Rn = 1/Rt

· Rencana :

ü Mencari rangkaian pengganti Norton atau ekivalen Norton rangkaian K-2 yang memenuhi syarat

2. Sumber-sumber Nyata (sumber-sumber dalam praktek)

Kita telah mendefinisikan bahwa sumber-sumber indipenden selalu merupakan sumber-sumber ideal. Contoh : batere ideal 12 volt akan mencatu tegangan 12 volt diantara terminal-terminalnya, tidak tergantung beban pada terminal-terminalnya / arus melalui sumber tegangan batere tersebut.

ü Sumber tegangan nyata mempunyai resistansi dalam ≠ 0, missal Re, sehingga dalam keadaan berbeban

3. Mengubah sumber tegangan nyata = sumber arus nyata

Seringkali pada analisis rangkaian kita dapat menyederhanakan rangkaian dengan mengubah sumber tegangan nyata = sumber arus nyata ( dan sebaliknya )

Megubah sumber tegangan seri dengan Rt menjadi sumber arus parallel dengan Rn dapat digunakan untuk analisis rangkaian dengan

Catatan : harus diingat bahwa cara ini tidak dapat digunakan untuk mencari arus atau tegangan pada Rt atau Rn !

Teorema Millman

Suatu rangkaian parallel terdiri dari sejumlah rangkaian seri yang masing-masing terdiri sebuah sumber tegangan seri dengan resistansi, selalu dapat diganti dengan suatu rangkaian seri dengan resistansi, selalu dapat diganti dengan suatu rangkaian seri yang terdiri dari sumber-sumber Vm dan Rm , dengan :

Teorema Resiprositas

        - Resiprecal = berlawanan
        - Teorema Resiprositas
            Pada suatu sistem atau rangkaian linier, jika cabang X – X’ dipasangi sumber tegangan V (Volt)
            dan cabang y – y’ yang dipasangi suatu ammeter (AM) membaca arus I (A), maka jika cabang
            y – y’ dipasangi sumber tegangan V (Volt) dan cabang x – x’ dipasangi AM akan membaca arus
            I (A) yang sama

- Contoh :

Kita akan membuktikan kebenaran Teorema Resiprositas
Jadi :
A). Mula mula simber tegangan 72V dipasang di x-x’, dan di y=y’ dipasang AM dan dihitung arusnya
B). Sumber tegangan 72V dipindahkan ke cabang y=y’, AM dipasang du x-x’, dihitung arus melalui AM tersebut.

- Hasil Ia = Ib (Arus mll AM pada kondisi a = arus mll AM pada kondisi b)

- Penyelesaian :

Contoh masalah :

Diketahui V0, R1, R2, R3, R4, L1, L2, L3, C1, C2, C3

A.) Hitung Icd !

Jika sumber tegangan [2Vo] dipasang pada terminal c – d dan terminal terminal a – b hubung singkat, hitung ISC tersebut !

Teorema Kompensasi

Ø Teorema kompensasi/subtitusi biasanya digunakan untuk menghitung perubahan arus atau tegangan pada suatu komponen, jika terjadi perubahan harga komponen tersebut.

Ø Perubahan harga komponen dapat terjadi ; misalnya :

- Dengan sengaja harga komponen tersebut diubah/dengan mengganti komponen tersebut dengan komponen lain yang tidak identik.

- Sebagai akibat pemasangan alat ukur tidak ideal, misalnya VM atau AM tidak ideal/

- Sebagai akibat perubahan posisi/kedudukan saklar/switch, misalnya dari terbuka menjadi tertutup atau sebaliknya.

Teorema Kompensasi

Pada suatu rangkaian, jika suatu resistansi R dilalui arus I, maka resistansi tersebut dapat dikompensasi/disubtitusi dengan sumber tegangan Vk = R I, dengan arus melalui sumber tegangan tersebut adalah I dan arus arus dan tegangan tegangan komponen komponen lain pada rangkaian tersebut tetap, sebaliknya bila resistansi R mempunyai tegangan V, maka resistansi tersebut dapat dikompensasi dengan sumber arus

Ik = V/R dengan tegangan sumber arus tersebut V

Catatan :

# Vk bukan sumber tegangan ideal, karena arusnya telah tertentu, yaitu I.
Vk adalah sumber tegangan dipendeden, dengan Vk = R I

# Sebaliknya Ik juga bukan sumber arus ideal, karena tegangannya V.
Ik adalah sumber arus dipenden, dengan Ik = V/R

Contoh :